Done.
Hier für andere User, die ähnliche Probleme haben, noch einmal eine Zusammenfassung:
Ich hatte im ersten Versuch unter Plesk 12.5 ein vollständiges Backup erstellt und dieses auf meinen lokalen Computer geladen. Nachdem der Server über den Strato Zugangsbereich über Neuinstallation auf Ubuntu 16 und Plesk Onyx upgedated war, habe ich versucht das Backup (4,7 GB) wieder hochzuladen. Hat aber nicht funktioniert. Obwohl ich in der PHP.ini das Uploadlimit hochgesetzt hatte und einen Neustart durchgeführt hatte, gelang es mir nicht, mehr als 2 GB hochzuladen. Also habe ich mein lokales Backup auf einen ftp Server (HiDrive upgrade auf 20GB und ftp Nutzung) hochgeladen.
Anschließend habe ich über Plesk Onyx den ftp backup server Zugang eingerichtet. Dabei machte mich Plesk darauf aufmerksam, dass der Dateiname eines Backups nicht dem Muster backup_xxxxxxxx.tar entspräche. Das stimmt, weil die datei backup_info_xxxxxx.xml.tar hieß. Ich solle sie einfach umbenennen, wenn ich sicher sei, dass dort ein backup drin sei. Also habe ich umbenannt und konnte auch auf das Backup zugreifen. Beim Versuch alles oder auch nur einzelne Objekte herzustellen bekam ich immer die Fehlermeldung, das backup sei zu alt.
Also habe ich den Server komplett über ein backup auf Ubuntu 12 und Plesk 12.5 zurückgesetzt. Mit Plesk wieder ein backup erstellt und dieses über Plesk auf den ftp Server abgelegt und dabei angegeben, dass das Backup in mehrere Teile aufgeteilt werden soll, mit jeweils maximal 2 GB. Auf dem ftp Server entstanden dann auch Dateien, die der Namenskonvention entsprachen.
Dann zusätzlich auf dem internen Speicher ein backup angelegt und über eine ssh Verbindung alle backup Dateien in das Verzeichnis /private-backup kopiert, welches ja auch nach der Neuinstallation unverändert bleiben soll.
Nachdem jetzt wieder Ubuntu 16 und Plesk Onyx aufgespielt war, habe ich mich bei Plesk angemeldet und ein account eingerichtet. Dann über ssh die Backup Dateien von /private-backup (ja, die waren noch da) wieder in den ../dumps Ordner kopiert. In Plesk war das backup dann auch wieder sichtbar, aber mit einer Größe von 0 Bytes. Und auch nach dem anwählen sah es nicht so aus, als wären dort Informationen vorhanden.
Also wieder ftp Zugang eingerichtet und das System hat dort die 3 backup Dateien erkannt, die ein Gesamtbackup enthielten. Dann dieses backup als Ganzes wieder eingespielt. Nach ca. 30 Minuten war das restore abgeschlossen und ein paar Warnungen wurden übertragen. Zunächst war DNS Service nicht übertragen worden (hab ich dann nachinstalliert und die Einträge auf den Standard zurückgesetzt). Dann war der Spamfilter für meine eMail Accounts nicht übertragen worden. Auch den habe ich nachinstalliert und wieder den Konten zugeordnet.
Dann habe ich den WordPress Auftritt und mein PHPbb3 Forum aktualisiert und alles funktioniert wieder.
Dann noch meine eMail Account geprüft. Konnte von beiden Domains über Thuderbird Mails verschicken, aber auf einer Domain kamen keine eMails mehr an. Nachdem ich einige Konfigurationsdateien und Log Dateien geprüft habe, konnte ich keine Fehler finden. Die E-Mails waren in der E-Mail Warteschlange unter Plesk sichtbar, wurden aber nicht ins Postfach weitergeleitet.
Ich habe dann ein neues Konto in dieser Domain eingerichtet und das getestet. Dort ging sowohl Senden als auch empfangen. Kurz danach ging es auch mit allen anderen Konten wieder. Ich weiß nicht sicher, warum es so lange gedauert hat, bis der Empfang wieder ging, aber jetzt funktioniert alles wieder.
Vielleicht hilft diese Beschreibung auch anderen, die bei Strato ein Upgrade planen. Der Support von Strato zu diesem Thema war übrigens nicht gut. Viel zu oft habe ich nur Textbausteine in den Antworten gefunden, die mir nicht weitergeholfen haben.