In Putty kannst du auch bei der gespeicherten Verbindung im Zweig Connection einstellen, dass die Verbindung aufrecht erhalten werden soll. Ich habe dort 30 Sekunden drin.
Idealerweise setzt man das aber vor Erstellen aller zu speichernden / gespeicherten Verbindungen im default-Eintrag (wie noch ein paar andere Optionen)
Erster Verdacht: setz in dem Putty Hauptfenster unten bei "Close Window on exit" den Haken auf "never".
Falls der Server die Verbindung beendet dann gibt er das als letzte Nachricht vor dem Schliessen aus, nur sieht man diese Meldung standardmässig in putty sonst nicht.