Da es sich um einen vServer handelt und wir nicht wissen, welche Virtualisierungslösung zu Grunde liegt, kann ein Update auf Debian 8 ggfl. schon daran scheitern, dass der Kernel vom Hoster vorgegeben ist.
Desweiteren ist das installierte Debian 6 schon sehr lange EoL, es sind also in dem System zahlreiche Sicherheitslücken vorhanden. Entsprechend steigt die Wahrscheinlichkeit mit jedem Tag, dass jemand anderes diese ausnutzt, um sich Zugriff auf dem Server zu verschaffen - falls dies nicht sogar bereits geschehen ist. Daher würde ich eher empfehlen, einen neuen vServer anzumieten, die Webseiten umzuziehen und anschließend den alten Server zu kündigen. Die Webseiten sollten dabei auch darauf überprüft werden, dass sie nicht kompromitiert sind.